Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben beim letzten Mal angefangen uns mit dieser Matrix-Verschiebungsmethode zu

beschäftigen und hatten als Beispiel dieses Tragwerk uns angeschaut, hatten dann in einem

ersten Schritt dieses Tragwerk diskritisiert in Elemente und Knoten, also die weißen kleinen

Kringel sind die Knoten, die dicken schwarzen Balken sind die Elemente. Wir hatten die durchnummeriert.

Die Durchnummerierung ist willkürlich. Es gibt keine Reihenfolge, die richtig oder falsch ist. Wir

werden später sehen, dass es eine günstige oder ungünstige Knoten-Nummerierung gibt. Aber wenn sie

von Hand rechnen, ist es erstmal egal. Es gibt etwas, was numerisch effizienter ist nachher,

bestimmte Knoten-Nummerierungen, aber das ist eigentlich nebensächlich. Wir haben verschiedene

Koordinatensysteme eingeführt. Einmal das große XY, das sogenannte globale Koordinatensystem,

in dem man die Geometrie beschreibt. Also in diesem Koordinatensystem werden die Knoten-Koordinaten

angegeben. Also ich sag der Knoten 1 liegt jetzt meinetwegen bei 1,1 und der Knoten 2, was weiß ich,

bei 3,3 oder irgendwie sowas. Das ist in dem globalen System. Dann gibt es ein natürliches

Koordinatensystem RS für jedes der Elemente. Das heißt, ich beschreibe jedes Element in einem

eigenen Koordinatensystem. Das hängt jetzt vom Element ab. Wenn ich so ein eindimensionales

Element habe, was bloß eine Linie zwischen zwei Knoten ist, habe ich halt irgendwie die R-Richtung,

die liegt entlang des Elementes und eine Richtung halt senkrecht dazu, also die R- und die S-Richtung.

Wenn das jetzt 3D im Raum wäre, gäbe es halt noch dazu senkrecht aus der Tafel-Ebene raus eine

T-Richtung. Wobei das in dem Fall jetzt nicht eindeutig wäre, wie man das orientieren sollte,

da müsste man halt irgendwelche Hilfsbeziehungen geben. Also im 2D ist das aber relativ eindeutig.

Und dieses RS-System, das liegt halt jetzt für jedes Element immer entlang der Element-Achse,

die R-Richtung und senkrecht dazu die S-Richtung. Dieses XY, das kleine System, das lokale

Knoten-Koordinatensystem ist in der Regel identisch mit dem großen XY-System. Also wenn ich keine

speziellen Randbedingungen habe und dergleichen sind die gleich und ich muss mir da gar keine

Gedanken machen. Für unser spezielles Beispiel hatten wir ja hier diese spezielle Randbedingung,

bei dem das Loslager hier so gedreht war, dass die Verschiebung senkrecht zur Balken-Achse hier,

also diese Richtung, frei ist und parallel dazu gesperrt ist. Diese Randbedingungen kann

ich in dem globalen XY-System aber nur schlecht formulieren. Also ich kann nicht sagen, X-Verschiebung

ist gleich Null oder Y-Verschiebung, also Groß X oder Groß Y gleich Null. Das geht nicht,

sondern das ist irgendwie so schräg und dann führt man an dieser Stelle halt ein Koordinatensystem

ein, in dem sich das leicht formulieren lässt. Also hier dieses kleine XY, dann kann ich sagen,

die Verschiebung entlang des kleinen X ist Null und in der Querrichtung, in der kleinen Y-Richtung

ist sie frei. Das ist nur sozusagen um bestimmte Randbedingungen einzubauen. Gut, also das heißt,

wir haben diese drei verschiedenen Typen von Koordinatensystemen am Wickel und hatten dann

im nächsten Schritt gesagt, wir schauen uns jetzt ein einzelnes Element an und das tun wir zunächst

einmal in seinem eigenen Koordinatensystem, nämlich in diesem RS-System. Dann habe ich nur

ein sozusagen generisches Element, also die Balken, die sind dann mehr oder weniger, ist das gültig

für alle diese vier Elemente, die ich da habe in dem RS-System. Ich habe ein linkes Ende,

ein rechtes Ende und ich trage mir an diesen Enden die Verschiebungs- und Kraftgrößen an. Und

zwar in Balken und Stablängsrichtung N, quer dazu die Querkraft Q und das Moment, so wie man das auch

kennt aus der Statik, Elastostatik, mit dem Unterschied, dass man in der finite Elemente

Methode keinen Unterschied mehr macht zwischen positiven und negativen Schnittufer. Das heißt,

es gilt nicht mehr diese Konvention, ja am positiven Schnittufer in positive Richtung,

am negativen Schnittufer in negative Richtung, sondern an einem Element werden alle Größen immer

in positive Richtung eingetragen, egal ob das positives, negatives Schnittufer ist. Also an

einem Element werden die Größen an den Enden oder Ecken des Elementes oder an den Knotenpositionen,

um korrekt zu sein, immer in positive Richtung eingetragen. Die Verschiebungsgrößen genauso

wie die Kraftgrößen, so dass die alle immer in die gleiche Richtung zeigen. Also das N rechts

zeigt in positive Richtung, also positive R-Richtung und das N links zeigt auch in positive R-Richtung

und das Q rechts zeigt in positive S-Richtung und das Q links zeigt auch in positive S-Richtung und